专题02 新定义形式下的二次方程的根-【微专题】2023-2024学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题02 新定义形式下的二次方程的根 1．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是___________； ①    ②    ③ (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________； (3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 2．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是______； ①②③ (2)若方程是“差积方程”，求的值； (3)当方程为“差积方程”时，请直接写出满足的数量关系． 3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数） 是“邻根方程”，求m的值． 4．规定：若（，m、n、p为有理数，为无理数）是一元二次方程（，a、b、c为有理数）的根，则也是该方程的根，称是该方程的一对“共轭无理根”． (1)写出一元二次方程的一对“共轭无理根”___________； (2)若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数b、c的值___________； (3)关于的一元二次方程（，a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是．若（m、n为有理数），求代数式的值． 5．已知关于x的一元二次方程①与②． (1)求证：这两个方程中至少有一个方程有实数根； (2)若方程①、方程②都有实数根，且方程①的根恰好是方程②的根的两倍，求m、n的值． 6．定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为_________； (2)若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线：与x轴交于点A，直线过点B（1，0），且直线与直线相交于点C（−1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围． 7．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的一半，那么称这样的方程为“半根方程”．例如，方程的两个根是，则方程是“半根方程”． (1)方程“半根方程”吗？判断并说明理由； (2)若关于x的方程是“半根方程”，求m的值． 8．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”． （1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 专题02 新定义形式下的二次方程的根 1．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是___________； ①    ②    ③ (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________； (3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）设关于x的方程的两个根为，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； （3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为③； （2）解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，， 令，则有， ∴，， ∴； （3）解：由可得：， ∴， 令，则有： ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是______； ①②③ (2)若方程是“差积方程”，求的值； (3)当方程为“差积方程”时，请直接写出满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先