1.4.3 空间向量的应用--距离问题（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量的应用--距离问题 利用空间向量法求距离问题 (1)点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. (3)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. (4)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. 【题型一】点到点的距离 【典题1】正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面． 当点与点重合时，线段的长度为　 　； 线段长度的最小值为　　． 巩固练习 1(★)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是 . 2(★) 空间点，，，若，则的最小值为 . 【题型二】点到线的距离 【典题1】 为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为　　． 巩固练习 1(★) 已知直线的方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则到直线上的距离为　　． 2(★) 已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 3(★★) 如图，三棱锥中，分别是棱上的点，且平面． （1）求证：平面； （2）若平面，，，为线段的中点，求到直线的距离. 【题型三】点到面的距离 【典题1】 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面，，，为中点，在棱上，，点到平面的距离为　 　． 【典题2】 已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． 求证：平面．若，，求点到平面的距离． 【典题3】 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点． 求证平面； 求二面角夹角的正弦值； 线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 巩固练习 1(★★) 已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 2(★★) 在长方体中，，，则点到平面的距离等于 . 3(★★) 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则 . 3(★★) 如图，是矩形，平面，，，分别是的中点，求点到平面的距离. 4(★★) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点． （Ⅰ）求点到平面的距离； （Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离． 5 (★★★) 已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值. 6 (★★★) 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，，分别为的中点，． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离． 【题型四】线到面的距离 【典题1】 如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知. 求证:平面; 求到平面的距离. 巩固练习 1 (★★) 已知正方形的边长为，平面，且，，分别为，的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离． 2 (★★)如图，在正方体中，为的中点． (Ⅰ)证明：平面AD1E；(Ⅱ)求直线到平面的距离； 【题型五】面到面的距离 【典题1】 正方体的棱长为，则平面与平面的距离为 . 巩固练习 1 (★★★) 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． (1)求证：平面∥平面；(2)求平面与平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 空间向量的应用--距离问题 利用空间向量法求距离问题 (1)点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. (3)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. (4)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. 【题型一】点到点的距离 【典题1】正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面． 当点与点重合时，线段的长度为　 　； 线段长度的最小值为　　． 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，当点与重合时，，，， ，，， 平面． ，解得