1.4.2 空间向量的应用---所成角（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量的应用---所成角 1求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，；当时，； 不管哪种情况，都有. 3求平面与平面的夹角 (1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： (2)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (3) 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 【题型一】求异面直线所成的角 【典题1】如图，是三角形所在平面外的一点，，且，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　． 【典题2】 已知正四棱锥底面中心为，，分别为的中点，底面边长为，高为，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线与所成角的正切值． 巩固练习 1(★★) 在空间直角坐标系中，已知顶点坐标分别是，，，则 是 三角形 2(★★) 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点， 若，则与所成角的余弦值为　　． 3(★★) 已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为 . 【题型二】求线面角 【典题1】 如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于 . 【典题2】 在梯形中，，∠，，为的中点，线段与交于点(如图)．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角(如图)． 求证：∥平面； 线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 巩固练习 1 (★★) 如图，在棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正弦值是(　　) A． B． C． D． 2(★★) 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 . 3(★★★) 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设分别为的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 4(★★★) 如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由． 【题型三】求二面角 【典题1】 在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则(　　) A． B． C． D． 【典题2】 如图，四棱锥中，侧面底面，∥，， ，，，，分别为，的中点． 求证：∥平面； 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由． 【典题3】 如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，∠，，，为的中点． 求证：∥平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 设为线段上的动点，二面角的平面角的大小为，求线段的长． 巩固练习 1(★★) 在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 2(★★) 如图，在三棱柱中，两两互相垂直，，分别是侧棱，上的点，平面与平面夹角为，则当最小时 3(★★★) 如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是 4(★★★) 如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点． 证明：∥平面； 若，，，求二面角的平面角的余弦值． 5(★★★★) 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点． 求证：平面； 若直线与平面所成角为， ①求线段的长；②求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量的应用---所成角 1求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，；当时，； 不管哪种情况，都有. 3求平面与平面的夹角 (1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个