1.4.1 空间向量的应用---线面位置关系的证明（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量的应用---线面位置关系的证明 1 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【题型一】线面、面面平行的证明 【典题1】 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【典题2】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【典题3】 在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中是上一点，且面，为的中点，求证：面面. 巩固练习 1(★) 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．7 2(★) 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则　　． 3(★★) 已知正方体的棱长为，分别是的中点，求证： (1) 平面；(2)平面平面． 4(★★) 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)在三棱柱中，求证：平面； (2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【题型二】面面位置垂直的证明 【典题1】已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为　 　． 【典题2】如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 巩固练习 1(★) 已知平面，的法向量分别为，则（ ） A． B． C．，相交但不垂直 D．，的位置关系不确定 2(★) 已知直线的方向向量，的方向向量，且，则 . 3(★★) 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直； ②直线的方向向量，平面的法向量，则； ③平面、的法向量分别为，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则． 其中真命题的是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上） 4(★★) 如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明：平面平面． 5(★★★) 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，． 求证：⊥平面； 线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论． 6(★★★) 在三棱锥中，平面，，，，分别为、的中点． (I)求证：平面平面； (II)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 空间向量的应用---线面位置关系的证明 1 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要