专题1-1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 1.1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】空间向量基础：基底 · 【题型二】在不同基底下的坐标 · 【题型三】利用基底求参数 · 【题型四】几何体中基底表示向量 · 【题型五】三点共线求参 · 【题型六】四点共面求参 · 【题型七】 基底综合 · 【题型八】 “绕三角形”型基底数量积 · 【题型九】 借助基底求空间线段长度 · 【题型十】 基底求最值：长度最值 · 【题型十一】基底求最值：数量积最值 · 【题型十二】基底求最值：角度最值 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】空间向量基础：基底 【典例分析】 1.（2021秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋·高二课时练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做 基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 【变式演练】 1.2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知向量、、是空间的一个基底，其中与向量、一定构成空间另一个基底的向量是（ ） A． B． C． D．、、都不可以 3.（2022·高二课时练习）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】在不同基底下的坐标 【典例分析】 1.（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·江苏·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 （1）空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标_． （2）空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，作．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．有序实数组叫做在空间直角坐标系之中的坐标，上式可简记作． 【变式演练】 1.（2023·全国·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 A． B． C． D． 2.（2023秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·高二课时练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用基底求参数 【典例分析】 1.（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 在空间选定一点O和一个单位正交基底．以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 【变式演练】 1.（2022秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（    ） A．0 B．5 C．9 D． 2.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（    ） A．0 B．9 C．5 D．3 3.2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 【题型四】几何体中基底表示向量 【典例分析】 1.（2022·全国·高