2.4.1圆的标准方程 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程教学设计 课题 圆的标准方程 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 在初中，学生已经学过圆的一些知识，前一节，学习了直线与方程的基础知识，知道了在直角坐标系中通过建立方程研究几何图形，圆的标准方程正是这一知识的应用延续，在学习中进一步使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力， 同时，圆也是特殊的圆锥曲线，圆的方程的学习，是进一步学习圆锥曲线的基础，对后续知识的学习，具有重要的意义。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 圆的标准方程； 2逻辑推理： 圆的标准方程的推导； 3数学运算： 通过圆的定义推导圆的标准方程，用待定系数法和几何法求圆的标准方程； 4数学建模： 根据所给条件求出圆的标准方程，判断点与圆的位置关系； 5直观想象： 判断点和圆的位置关系； 6数据分析： 从圆的几何要素——圆的定义——圆标准方程的推导——例题——课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性. 重点 掌握圆的标准方程的求法及应用，判断点与圆的位置关系. 难点 会根据已知条件求圆的标准方程. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 请大家观察实际生活中这些物体 问题：这些图形，它们抽象出来的平面图形是什么？ 答案：圆形 如果建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 情景引入 引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 讲授新课 思考1：在初中， 圆是怎样定义的？ 提示：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 定点——圆心——确定圆的位置 定长——半径——确定圆的大小 思考2: 在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？ 提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径. 思考3: 已知圆心A的坐标为,半径为r，设圆上任意一点 M（x, y），如何求该圆的方程？ 如图 在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为,半径为r，M（x, y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合 . 根据两点间的距离公式，点M的坐标（x, y）满足条件可以表示为 两边平方，得 ⑴ 由上述过程可知， 若点 M（x, y）在☉A上，点M的坐标就满足方程（1）； 反过来，若点M的坐标（x, y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在☉A上. 这时，我们把方程（1）称为圆心为A ，半径为r 的圆的标准方程. 思考 圆的标准方程有哪些特点？ 1 是关于x, y的二元二次方程 2 方程明确给出了圆心坐标和半径 3 确定圆的方程必须具备三个独立条件，即a, b, r. 思考 方程 ① ， ② ③ 是圆的方程吗？ 提示： 1 是圆的方程，其中，圆心（-a, -b）,半径r ② 不是 ③ 当m>0时，是圆的方程； 当m=0时，表示一个点 当m<0时, 不是圆的方程 例1 求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上. 解： 圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是 把的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上(如图) 探究 点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 提示： 点在圆内，则 点在圆外，则 探究： 点与圆 的位置关系如何判断？ 提示： （1） , 点在圆外 （2） ， 点在圆上 （3） ， 点在圆内 例2 △ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程. 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.虽然已知的三个点不在同一条直线上，只有确定了，a, b ,r ,圆的标准方程就确定了. 解：法一：待定系数法 设所求的方程是 ① 因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，得到关于a ,b 的二元一次方程组 解此方程组，得 代入 ，得 所以，△ABC的外接圆的标准方程是