精品解析：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

复旦附中2023学年第一学期高二年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，那么________. 2. 若复数是纯虚数，则实数________． 3. 已知，且，则的最大值是________. 4. 若一个等腰三角形顶角正弦值为，则其底角的余弦值为____________. 5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________ 6. 已知定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为___________. 7. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________． 8. 非零平面向量，，满足，且，则的最小值为________. 9. 如图，正方形中，E，F分别是，的中点，沿，，把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为___________. 10. 函数，（为常数）的最大值为，则的取值范围为_____ 11. 已知四棱雉的底面是边长为4的正方形，面，点、分别是、的中点，为上一点，且，为正方形内一点，若面，则的最小值为________. 12. 已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意，均满足，则当且时，的值为____________. 二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，填写正确选项. 13. 设：实数满足，：实数满足，那么是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设有下面四个命题: (1)若复数满足则 (2)若复数满足则 (3)若复数满足则 (4)若复数满足则 则正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点直线与函数的图像必有公共点 16. 如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求的最小值. 18. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路． （1）已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米） （2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长． 19. 如图，正方体中，为棱上一点； （1）试过点在平面上作一条直线，使得，写出作法并说明理由； （2）若为棱中点，为棱上一点，且，求异面直线与所成的角. 20. 已知函数，为实常数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若时的最小值为2，求的值； （3）若方程有两个不等的实根，，且，求的取值范围. 21. 若函数，，，的最大值为1. （1）求的值； （2）若函数在内没有对称轴，求的取值范围； （3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复旦附中2023学年第一学期高二年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】，则， 所以. 故答案为： 2. 若复数是纯虚数，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，根据为纯虚数求得. 【详解】∵， ∴，∴． 故答案为： 3. 已知，且，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最大值. 【详解】， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 4. 若一个等腰三角形顶角正弦值为，则其底角的余弦值为____________. 【答案】或. 【解析】 【分析】设顶角，则其底