2.2基本不等式（3课时） 导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式(1) 一、学习目标 1.掌握基本不等式的内容， 2.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式 3.熟练掌握基本不等式及变形的应用， 二、活动方案 活动一探究基本不等式 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：廿a,b∈R,有a+b2 ≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立 思考1如果a>0,b>0,我们用a,b分别代替上式中的a,b.可以得到 什么？ 思考2基本不等式表明什么意义？ 思考3如图，AB是⊙O的直径，C是AB上一点，AC=a,CB=b,过点C 作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D,连接AD,BD,你能利用这个图形，得出基本 不等式的几何解释吗？ atb 活动二基本不等式的简单应用 例1当a,b∈R时，下列不等关系成立的是() A.a+b≥2abB.a-b≥2ab C.a2+b2≥2abD.a2-b2≥2ab 跟踪训练 1、不等式a2+4a2≥4中，等号成立的条件是() A.a=4 B.a=2 C.a=-2 D.a=±2 2、下列不等式一定成立的是() A.14)>x(x>0) B.X+1x≥2(x≠0) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1x2+1>1(x∈R) 活动三利用基本不等式证明不等式 例2设a,b为正数，证明下列不等式成立 (1)ab+ba≥2： (2)a+b+1a+1b≥4. 活动四利用基本不等式比较大小 例3已知a,b为正数，比较a2+b22,a+b2,ab,211b的大小 三、随堂检测 1.下列不等式恒成立的是() A. b+a,2 B.ab 82G C.a+b'2ab D.a2+b23-2ab 2.已知a,b为正数，且a+b≤4，则下列各式中正确的是() A.1a+1b<1B.1a+1b21C.1a+1b<2D.1a+1b22 3.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是() A.ab≤la1vs41a八co1fa+b2)2B.ab≤a2+b22 C.1ab≥2a2+b2D.1ab≤lalvs4alco1(0f2a+b)2 4.若a,b,c>0,求证：b+ca+a+cb+a+bc≥6.2.2基本不等式(2) 一、学习目标 1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)及其变形. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题， 二、活动方案 活动一理解常用基本不等式 思考1基本不等式及其变式有那些？ 活动二利用基本不等式求最值 思考2已知0<x<1,则x(1一x)有最大值还是最小值？能否通过基本不等式 求它的最值？ 例1已知x,y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值2P; (2)如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积y有最大值S24. 小结： 己知a,b都是正数 和定积最大 若a+b=s(和为定值)，则当a=b时，积ab取得最大值s24. 积定和最小 若ab=p(积为定值)，则当a=b时，a十b取得最小值2p. 应用基本不等式时的注意点： 一正： 二定： 三相等： 例2已知x心一2，求x+16x+2的最小值. 跟踪训练 已知21，求x2一x十4x一1的最小值及此时x的值. 例3若0≤x≤3，求x(3一x)的最大值及此时的x的值. 跟踪训练 已知0<x<13,求x(1一3x)的最大值. 小结： 1.应用基本不等式的条件：“ ”，在求最值时必须同时 具备，解答易漏掉等号成立的条件. 2.此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一 定的灵活性和技巧性.常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换” 等. 活动三求有约束条件的最值 例4已知x,y均为正数 (1)若x十y=1,求1x十5y的最小值： (2)若1x+5y=2,求x+y的最小值. 跟踪训练 若0<x<1,求1x十11一x的最小值. 小结： 1.本例在解答中要注意使1x十5y和x十y取最小值所对应x,y的值也要一 并解出来。 2.解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的 方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值， 三、随堂检测 1.已知x0,>0,且x十3y一5.y=0,则3x+4y的最小值是() A.3B.4C.5D.6 2.若0<x12,则y=xl一4x2的最大值为() A.1B.12C.14D.18 3.(多选)已知x,y是正数，且2x十y=1,则下列叙述中正确的是( ) A.xy的最大值为18B.4x2+y2的最小值为12 C.xx十y)的最大值为14D.x十2y2y的最小值为4 4.若a>b>0,则代数式a2+1b(a一b)的最小值为 5.当r<32时，求x十82x一3的最大值.2.2基本不等式3) 一、学习目标 1.能运用基本不等式解决简单实际问题中的最大（小）值问题 2.在解题过程中加深对基本不等式