专题01 第一章 一元二次方程（优质类型，10大类型）-2023-2024学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题01第一章 一元二次方程 【专题过关】 类型一、配方法解决应用 【解惑】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值． 解： 无论x取何实数，总有． ，即的最小值是． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题： （1）已知，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值．      【融会贯通】 1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)【解决问题】 数11 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；数53 　　“完美数”（填“是”或“不是”）； (2)【探究问题】 已知，则　　； (3)【拓展提升】 已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： 简单应用： （1）填空： ； 深入探究： （2）已知，求的值； 灵活应用： （3）比较代数式与的大小，并说明理由． 4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 5．（2023春·江苏宿迁·七年级期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：________； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 类型二、换元法解决问题 【解惑】阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得． 当，时，，∴．∴； 当时，，∴．∴． 故原方程的解为， ，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想； (2)请利用以上知识解方程：； (3)请利用以上知识解方程：． 【融会贯通】 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 2．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．