专题02 一元二次方程的解法-2023-2024学年九年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题02 一元二次方程的解法 经典考点： 一、一元二次方程的基本解法: 开平方法,配方法.公式法,因式分解法. 二、配方法的灵活运用,必须区分: （1）代数式配方: 例：3x2+6x﹣4 一化1：二次项系数化为1—提取二次项系数； 二配：加减一次项系数一半的平方； 三写：写成完全平方的形式； 四展开：展开合并同类项即可。 典例： 3x2+6x﹣4 =3（x2+2x）﹣4 =3（x2+2x+12-12）﹣4 =3[（x -1）2-1]-4 =3（x -1）2-7 方程配方: 一移、常数项到右边； 二化：次项系数化为1—两边同除以二次项系数； 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 四写：把方程左边写成完全平方的形式，方程右边直接合并同类项。 五求解，根据平方根的定义，写出两个根，并化简。 典例：:3x2+6x﹣4＝0， 移项，x2+2x， 方程两边同时除以3，得得x2+2x 配方，得x2+2x+11， 则（x+1）2， 所以，x+1＝±， 所以，x11，x21． 三、公式法的使用注意事项。 使用公式法，必须先把方程化成一般式，然后分类讨论： 当Δ=b2-4ac ≥0时，才可以代入根公式。 当Δ=b2-4ac <0时，方程没有实数根。 四、根的判别式的灵活运用 (1)Δ=b2-4ac >0方程有两个不相等的实数根。 (2) Δ=b2-4ac =0方程有两个不相等的实数根。 (3) Δ=b2-4ac <0方程没有实数根。 强调：逆用时，方程有实数根，则Δ=b2-4ac≥0 实战训练 一、配方法解方程--基础练 1．用配方法解下列方程： 试卷第2页，共2页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 (1)； (2)； (3)； (4)． 二、配方法提升--含字母的方程 2．用配方法解关于x的方程：． 3．用配方法解方程：（要求用整体法的思想求解）． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求值； (2)用配方法解这个方程． 三、配方法的应用--求代数式最值与新定义 5．用配方法说明： 代数式的值总大于0． 6．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如： ①用配方法分解因式： ． 解：原式： ②， 利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解； (2)若 ， 求M的最小值． 7．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值为．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当a为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 8．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)【解决问题】 数11 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；数53 　　“完美数”（填“是”或“不是”）； (2)【探究问题】 已知，则　　； (3)【拓展提升】 已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 四、公式法解方程--一找二判三代入 9．用公式法解方程： (1)． (2)． 10．用公式法解下列关于x的方程： (1)； (2)． 五、根的判别式的灵活运用。 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围． 12．证明：方程有两个不相等的实数根． 13．已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 14．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 六、根据根的的情况，求参数的取值（范围）。 15．当取何值时，关于的方程， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 16．若关于的方程，有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17．已知