3.3 勾股定理的应用举例——立体图形中最短路径问题 课件 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

勾股定理的应用 立体图形中最短路径问题 最短路径 回顾 两点之间，（ ）最短 线段 平面图形中的最短路径 立体图形中的最短路径 学习目标： 1、对勾股定理内容进一步理解 2、能够应用勾股定理解决立体几何中的简单最短路径问题。 立体图形中的最短路径 A B 我怎么走 会最近呢? 例1、有一个圆柱,它的高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的糖, 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是 cm(π的值取3) 最短路径问题——圆柱 B A 高 12cm B A 长18cm (π的值取3) 9cm ∵ AB2=92+122=81+144=225= ∴ AB=15(cm) 答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm. 152 解:将圆柱如图侧面展开.在Rt△ABC中,根据勾股定理 C 解题思路 1、 展 ------- 2、 找 -------- 3、 连-------- 4、 算-------- 5、 答 （立体 平面） 起点， 终点 路线(两点之间线段最短) 利用勾股定理 （5步走） 归纳:圆柱展开转化为平面图形，利用两点之间线段最短找到最短路径，然后运用勾股定理求解。圆柱体的展开图是一个长方形，但需要注意展开后点的位置的确定。 变式训练： 1、有一圆柱形糖罐, 底面周长是12厘米,高AB是5厘米，蚂蚁从 A点环绕糖罐爬行一周后正好吃到A点的正上方B点处的糖,蚂蚁 爬行的最短要 米。 A B 思维引导：蚂蚁爬行路径在展开图形中的起始位置和终点位置分别在哪? 最短路径问题——圆柱 A B 有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃糖，它爬行的最短路线长为 m A B 解：AC = 7 – 1 = 6 ， BC = 16 × = 8， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=1100, ∴AB=10(m) . 2 1 B A C 变式训练2 最短路径问题——圆柱 例2、如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少? 蚂蚁A C蜂蜜 C A A1 M H 最短路径问题——圆柱 A．15 B．25 C．35 D．45 如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（　） 最短路径问题——长方体 例3.如图是一块长，宽，高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃糖，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A B 4 2 1 最短路径问题——长方体 怎样展开？ A B B 4 2 1 最短路径问题——长方体 展开前面和上面 2 A B B 最短路径问题——长方体 展开前面和右面 4 2 1 A B A 最短路径问题——长方体 展开上面和左面 2 4 1 最短路径问题——长方体 归纳：长方体展开转化为平面图形， 利用两点之间线段最短找到最短路径， 然后运用勾股定理求解。 注意展开不同的两面，得到的长方形的长和宽不相同，所以要通过比较才能得出最短距离。 最短路径问题——长方体 变式训练1.如图，一只蚂蚁从长、宽都是2cm，高是3cm的长方体纸的A点沿纸箱爬到B点吃糖，那么它所行的最短路线的长是 cm. 最短路径问题——正方体 变式训练2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离的平方是（ ）. （A）9 （B） 5 （C）4 （D）1 你有多少种走法？ 它是不是最短距离？ A B 归纳：正方体展开后转化为平面图形后，利用两点之间线段最短找到最短路径，然后运用勾股定理求解。 A D E B B 展开前面和上面 A B B 展开前面和右面 A B A 展开上面和左面 无论什么立方体，都必须通过展开后得到平面图形，利用两点之间线段最短得到最短的距离，再运用勾股定理求出结果。 正方体 因为每个面的大小相同，展开后长方形的长宽不变，所以结果相同。 归纳方法、总结思路 长方体 展开不同的两面，得到的长方形的长和宽不相同，所以要通过比较才能得出最短距离。 圆柱体 圆柱体的展开图是一个长方形，但需要注意展开后点的位