四川省成都市石室中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

成都石室中学2023～2024学年度上期高2025届入学考试 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知向量，，则 A. 0 B. 1 C. D. 2 2.若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是 A． B． C． D． 4.在三棱锥中，,则该三棱锥的外接球的表面积为 A． B. 　 C. 　 D. 5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如右图所示，若将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则 A． B． C． D． 6.已知的内角的对边分别为，若，，则 A. 6 B. 5 C.4 D. 3 7.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，M是边BC的中点，O为△ABC的外心，则 A．8 B． C．16 D．17 8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面α，β所成的角都是的直线，则这样的直线有且仅有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若,则 D．若，则 10.已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是 A．若，则有一个解 B．若，则有两个解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量 ，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作， 设则 A． B． C． D． 12.如图，已知在长方体中,，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是 A．当点在棱上的移动时，恒有 B．在棱上总存在点，使得平面 C．四棱锥的体积为定值 D．四边形的周长的最小值是 第II卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分． 13.=_____________. 14.水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为 . 15.正四棱锥中，,为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 16.如图所示，四个村庄,其中在同一直线上, 的距离是8千米,在处观察所成的视角为，从到修一条笔直的公路并延伸，则到该公路的最大距离为 千米. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）（1）已知，，求的值； （2）证明： . 18.（本小题满分12分）如图,在中,, 为的中点,与交于点. 设，. （1）试用表示；（2）求. 19．（本小题满分12分）已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，求周长的取值范围. 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面， ，为的中点，点在棱上． (1) 若,求三棱锥的体积； (2) 在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，点为的中点，与交于点，将沿折起，使点到点的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角. 图1 图2 22．（本小题满分12分）如图，在中，,的角平分线交于，. （1）求的取值范围； （2）已知面积为1，当线段最短时，求实数.