第一章 空间向量与立体几何 综合练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.已知点，，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，，则向量b在向量a方向上的投影的坐标是( ) A. B. C. D. 3.如图，在菱形ABCD中，，沿对角线AC折起，使平面平面ACD，则二面角的平面角的余弦值为( ). A. B. C. D.2 4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( ) A. B.1 C. D. 5.已知O为坐标原点，，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( ) A. B. C. D. 6.已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( ) A. B. C. D. 7.在正方体中，动点P在上(含端点)，则BP与所成角的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( ) A.4 B. C. D.8 9.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( ) A. B.的中点坐标为 C.在方向上的投影的数量为 D.的长为 10.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是( ) A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为 C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为 11.已知点，，若点在直线AB上，则点M到坐标原点的距离的最小值是__________. 12.设，，若，则___________. 13.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________. 14.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________. 15.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2. (1)求证：平面平面AEG. (2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：B 解析：设线段AB上靠近点A的三等分点为，由题可得，即，所以解得即点.故选B. 2.答案：C 解析：由题意，得，，所以向量b在向量a方向上的投影的坐标是. 3.答案：A 解析：取AC的中点O，以OC，OD，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面ABC的法向量，平面ACD的法向量，所以. 4.答案：A 解析：方法一：，，，所以点A到直线BC的距离为. 方法二：作，交BC于点Q，设，又，所以，所以，则.又，所以，得，因此，从而可知点A到直线BC的距离为. 5.答案：C 解析：点Q在直线OP上运动，存在实数使得，，，，当且仅当时，取得最小值，此时. 6.答案：B 解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.又是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，，平面PAB与平面PCD所成角的大小为. 方法二：平面，平面，，又四边形ABCD为正方形，，，，平面，平面PAD，又平面，平面，平面平面PAD，平面平面，为平面PAB与平面PCD所成的角.，，. 7.答案：D 解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，点P的坐标为， 则，. 设，的夹角为， 则， 所以当时，取最大值，此时. 当时，取最小值，此时. 8.答案：B 解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的一个法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或(舍去)，则，所以. 9.答案：AD 解析：对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，，则的中点坐标为，故B错误. 对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误. 对于D，，，，，故D正确. 10.答案：ABC 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则取，得.点F到点E的距离为，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离为，故C正确；由正方体的性质可知平面平面，所以平面到平面的距离即点F到平面的距离，为，故