第1章全等三角形-常见四种模型归纳 2023--2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形-常见四种模型归纳 【学习目标】 1.旋转模型 2.一线三等角模型 3.手拉手模型 4.半角模型 【典型例题】 类型一、旋转模型 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1经过顶点C,过A、B两点分别作 I的垂线AE、BF,E、F为垂足. (1)当直线1不与底边AB相交时， ①求证：∠EAC=∠BCF, ②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明. (2)将直线1绕点C顺时针旋转，使1与底边AB交于点D(D不与AB点重合)，请你探究 直线1，EF、AE、BF之间的关系.（直接写出） E B 备用图 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 举一反三： 【变式1】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在边AC上，CD⊥DE,且CD=DE, 连接BE,取BE的中点F,连接DF. 图1 图2 图3 (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系： (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，(1)中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由： ②如图3，连接AF,若AC=3,CD=1,求SAADF的取值范围. 【变式2】在△ABC中，∠BAC-90°，AC=AB,直线MN经过点A,且CD⊥MN于D,BE⊥MN于E. 图1 图2 (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+LDAC=度： (2)求证：DE=CD+BE: (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这 个等量关系，并加以证明， 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 2 【变式3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上的一点，连接CD,将线 段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE,连接EB. (1)操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、 EB的数量关系为： (2)猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请 你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明： (3)拓展延伸 若AB=5,BD=7,请你直接写出△ADE的面积. 图2 图3 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 类型二、一线三等角模型 【例1】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线MW,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于 点N. 图1 图2 (1)若MN在△ABC外（如图1），求证：MN=AM+BN; (2)若MN与线段AB相交（如图2），且AM=2.6,BN=1.1,则MN=一 举一反三： 【变式1】过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： D G 图1 图2 图3 [模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点 E.求证：BC=AE, [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=B,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算 图中实线所围成的图形的面积为 [深入探究]如图3，LBAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点 F,DE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=12,则△ADG的面积为 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 4 【变式2】在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a. (图1) (图2) (图3) (1)如图1，当a=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明：若不 成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC, 直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,aABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之 和. 【变式3】已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E、F分别是直线CD上两点， 且∠BEC=LCFA=La. 图1 图2 图3 (1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图1，若∠BCA=90°，∠a=90°，求证：BE=CF: ②如图2，若∠a+LBCA=180°，探索三条线段EF,BE,AF的数量关系，并证明你的结论： (2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA,题(1)②中的结论是否仍然成立？若 成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确的结论再给予证明 用良心做教有，成就孩子未来，体现自我价值 类型三、手