第05讲 将军饮马-最短路径问题（知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第05讲 将军饮马-最短路径问题 1. 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的性 质. 2. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【题型1：两定一动-作图】 【典例1】（2021秋•沿河县期末）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023春•埇桥区期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2023春•金水区校级期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝　　； （2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1； （3）在DE上画出点P，使PB+PC最小． 【变式2-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？ 【变式2-2】（2022秋•东昌府区校级期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请直接写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1三个顶点的坐标（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点）； （2）请直接写出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2三个顶点的坐标（其中A2，B2，C2分别是A，B，C的对应点）； （3）在直线l上存在一点P，使得PA+PB最小．则P　 　． 【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【典例3】（2022秋•南川区期末）如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是（　　） A．11 B．13 C．18 D．24 【变式3-1】（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4.5 【变式3-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-3】（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式3-4】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【典例4】（2022秋•香洲区期末）已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　） A．1