第04讲 等边三角形（知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第04讲 等边三角形 1. 理解等边三角形的定义. 2. 探索并证明等边三角形的性质定理. 3. 探索并掌握等边三角形的判定定理. 4. 通过探究掌握 30°角的直角三角形的性质与应用. 5. 经过应用等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力. 6. 通过探究含 30°角的直角三角形的性质的过程；增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题，解决问题的能力. 知识点1 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点2 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点3 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点4：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） ​ A．3 B． C．6 D．8 【变式1-1】（2023春•锦江区期末）如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　　． 【变式1-3】（2022秋•东宝区期末）如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（　　） A．30 cm B．40cm C．50 cm D．60 cm 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2022•金牛区校级模拟）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l1、l2，则∠1+∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2-1】（2023春•成都期末）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式2-2】（2023•余杭区校级模拟）如图，已知等边△ABC，直线l1∥l2，∠1＝50°，则∠2＝（　　） ​ A．60° B．80° C．70° D．100° 【变式2-3】（2023春•渭南期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1的度数为（　　） A．20° B．40° C．60° D．无法判断 【题型3 等边三角形的判定】 【典例3】（2022秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 【变式3-1】（2022秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC． （1）求∠EBC的度数； （2）求证△ABC为等边三角形． 【变式3-2】（2022秋•阳江期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点． （1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小； （2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 【典例4】（2022秋•石泉县期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【变式4-1】（2022•大冶市模拟）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ． （1）求证：△ABP≌△CAQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【