1.1.1 集合及其表示方法【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

1.1.1 集合及其表示方法 一、元素与集合的概念及表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 二、元素的特性 1、确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 2、互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． 利用集合中元素的特异性求参数： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、元素与集合关系的判断方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 四、常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 六、描述法 1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 2、用描述法表示集合 （1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 题型一 判断元素是否构成集合 【例1】（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【变式1-1】（2022秋·福建泉州·高一月考）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国所有直辖市 B．某校高三的聪明学生 C．2020年参加强基计划招生的高校 D．中国的四大发明 【变式1-2】（2022秋·河南信阳·高一校考期中）考察下列每组对象，能构成集合的是（ ） ①中国各地的美丽乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于的自然数； ④截止到年月日，参与“一带一路”的国家． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【变式1-3】（2022秋·陕西咸阳·高一月考）（多选）下列选项中能构成集合的是（ ） A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 题型二 判断元素与集合的关系 【例2】（2023春·福建·高一永定第一中学校考开学考）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-1】（2022秋·甘肃·高一校考期中）（多选）已知集合，则有（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）已知集合，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（