2.4.2 圆的一般方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4.2 圆的一般方程 知识点一：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点二：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 知识点三：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 重难点题型1 求圆的一般方程 例1、（1）、（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知圆M的方程为，则圆心M的坐标为（    ） A． B． C． D． （2）、（2021秋·陕西·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）、（2023秋·高一单元测试）以为圆心，且经过的圆的方程是 . （4）、（2022秋·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（    ） A．，3 B．，3 C．，3 D．，9 【变式训练1-2】、（2021春·河北·高三统考学业考试）若圆C：的半径为1，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2021秋·高二课时练习）圆心在y轴上，经过点且与x轴相切的圆的方程是 ． 【变式训练1-4】、（2022秋·高二课时练习）圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为 ． 例2、（2023春·江苏常州·高一华罗庚中学校考期末）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 例3、（2022秋·江西宜春·高二校考阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 例4、（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 例5、（2022秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考阶段练习）（1）已知的三个顶点，求外接圆的方程． （2）已知圆心C在直线上，且过点．求圆C标准方程； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题2.4.2 圆的一般方程 知识点一：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点二：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 知识点三：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2