13.4 课题学习 最短路径问题-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 一十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路径问题 学习目标： 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。体会图形的变化在解诀最值问题中的作用。 2.感悟转化思想。 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：路径最短的证明。 老师对你说： 1、 垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2、 将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 3、 造桥选址问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N B 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1 垂直线段最短问题 【例1-1】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5 【例1-2】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A． B． C． D． 知识点2 将军饮马问题 【例2-1】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．7 B．9 C．10 D．14 【例2-2】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 . 【例2-3】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 知识点3 造桥选址问题 【例3-1】如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【例3-2】如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A． B． C． D． . 【例3-3】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 （1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； （2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； （3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 能力强化提升训练 1 .如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 2 .如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ． ． 3 .如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1．如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2 .如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 3 .如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 4 .如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 5 .如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 6 .如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 7 .如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 8 .如图，河道的同