13.3.2 等边三角形（第二课时 含30°角的直角三角形的性质）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 一十三章 轴对称 13.3.2等边三角形 第二课时 含30°角的直角三角形的性质 学习目标： 1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 2.掌握等边三角形的性质和判定方法. 3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题. 重点：探索等边三角形的性质与判定. 难点：等边三角形性质和判定的应用. 老师对你说： 1、 含30°角的直角三角形的性质 含30°的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　 此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 细节剖析: 这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 2、 含30°角的直角三角形的性质的应用 1.若求某直角三角形的边长时，考虑构造30°角的直角三角形。 2.若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角的外角为30°的角。 3.在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的二倍，一是证明是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于30° 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 【例1-1】如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-3】如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【例1-4】如图，在四边形ABCD中，AD＝8，BC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，∠ADC＝120°，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 【例2-1】如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　） A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m 【例2-2】如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？ 【例2-3】已知：如图，△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周长． 【例2-4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 能力强化提升训练 1 .如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BP＝4cm，点Q为射线BC边上一点，当CQ的长 为　 　时，△PBQ是直角三角形． 2.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　 　． 3 .如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 4.如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q． （1）若BQ＝2，求PE的长 （2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（