13.1.2 线段垂直平分线的性质（第一课时）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 一十三章 轴对称 13.1轴对称 13.1.2线段垂直平分线的性质（第一课时） 学习目标： 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用. 难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用. 1、 线段垂直平分线的性质老师对你说： 1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 2、 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 3、 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 这一点在已知直线外． 如图，点O在直线AB外，过点O作直线AB的垂线的主要步骤是： ①以点O为圆心，作能与AB相交的弧，交AB于点E、D，这样就构造了等腰三角形△ODE； ②作顶角∠DOE的平分线OC； ③反向延长OC，则直线OC就是过点O且垂直于AB的直线． 归纳整理：两种情况都转化到作角的平分线上，第(2)种情况利用S.S.S.先证明△ODC≌△OEC，然后再利用S.A.S证明△DOF≌△EOF，从而可说明∠OFD＝90°，即OC⊥AB. 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1 线段垂直平分线的性质 【例1-1】如图，四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F， (1) 求证：△BCE≌△FDE； (2) 连结AE，当AE⊥BF，BC=2，AD=1时，求AB的长． 【例1-2】如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：． 【例1-3】如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 知识点2 线段垂直平分线的判定 【例2-1】如图，已知△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：直线AO⊥BC. 【例2-2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， （1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【例2-3】如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 知识点3 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线 【例3-1】如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F； ②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O． 则AO的长为 　 　． 【例3-2】如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 能力强化提升训练 1 .如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．13 2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD． 3.下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E： ②接AE交BC于点D．则线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接　BE　，　CE　． ∵　BE　＝BA，　CE　＝CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（　到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．　）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC的BC边上的高线． 4 .如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1.如图