专题一 证明线段相等的基本思路归纳-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 一十三章 轴对称 专题 一 证明线段相等的基本思路归纳 思路一 利用全等三角形性质证明线段相等 【例1-1】已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE＝BD．连接DE、DC，求证：CE＝CD． 【例1-2】如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 针对练习1 1.如图1，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.求证：AB＝AC. 2. 如图四边形中，，，．求证：． 思路二 利用等腰三角形的性质与判定证明线段相等 【例2-1】如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【例2-2】如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 针对练习2 1.如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 2 .如图4，在等边三角形ABC中，E是AB上的动点，点E不与点A，B重合，点D在CB的延长线上，且CE＝ED. (1)如图①，若E是AB的中点，求证：BD＝AE. (2)如图②，若E不是AB的中点，(1)中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系；若成立，请给予证明． 思路三 利用线段垂直平分线的性质和判定证明线段相等 【例3-1】如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上． 【例3-2】如图8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F. 求证：BM＝MN＝CN. 图8 针对练习3 1.如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 2 .如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 思路四 利用角平分线的性质与判定证明线段相等 【例4-1】如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 【例4-2】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求证DE＝DF． 针对练习4 1 .如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF． 2.已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂直分别为D和点E． 求证：． 请写出定理的证明过程 分析：图中有两个直角三角形和只要证明这两个三角形全等，即可证明． 请根据教材中的分折，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过珵． 定理应用： 如图②，在四边形中，，点E在边上，平分，平分． （1）求证：． （2）若四边形的周长为24，，面积为30，求的边的高的长． 跟踪训练 1.已知：如图2，AD，BC相交于点O，且AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. 求证：CO＝DO. 2.如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC的反向延长线上的一点，EG∥AD，分别交AB，BC于点F，G，找出图中的等腰三角形，并给出证明． ． 3. 如图9，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G.求证：AE＝FG. 图9 4 .如图，△ABF和△DCE中，AF、DE交于点G，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C． （1）求证：GE＝GF； （2）请用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线（简要说明画法，保留作图痕迹，不需证明）． 5.如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 八年级数学上分层优化堂堂清 一十三章 轴对称