4.4.4 探索三角形相似的条件（第4课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第4节 黄金分割比（4） 学习目标 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比. 2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 情景引入 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 黄金分割的概念 1— 一个五角星如图所示 （1）从图中找出相等的角、相等的线段. A C B A B C 度量C 到点A、B的距离, 与 相等吗？ A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示 （2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形. 如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC 小亮认为， .你同意他的看法吗？说说你的理由. A B C 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 由黄金分割的定义知，AC2=AB·BC. 特别警示： 线段 AB 有两个黄金分割点，其中一点 D 靠近点 A，有 = ，另一点 C 靠近点 B，有= ，并且 AD=BC， AC=BD. 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 典例精析 A A C 例1.计算黄金比. 解：由 ，得AC 2＝AB·BC 设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×（1－x） 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 （不合题意，舍去） 则BC＝1－x . 所以，黄金比 例2.已知线段 AB=6，点 C 为线段 AB 的黄金分割点， AC=a， BC=b，求 a－b 和 a·b 的值 . 典例精析 解：当 a ＞ b 时，∵点 C 为线段 AB 的黄金分割点， ∴ = ，即 2a= (－1) AB. 又∵ AB=6，∴ 2a=6× (－1) . ∴ a=3－3. ∴ b=AB－a=9－3 . ∴ a－b=6－12， a· b=36－72. 当 a ＜ b 时，∵点 C 为线段 AB 的黄金分割点， ∴ = . 又∵ AB=6， ∴ b=3 － 3. ∴ a=AB － b=9 － 3 . ∴ a － b=12 － 6 ， a· b =36 － 72. 综上所述， a － b =6 － 12 或 12 － 6 ， a· b =36 － 72. 想一想 古希腊时期的巴台农神庙 A B D C E F 图1 图2 如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD.那么我们可以惊奇地发现 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? A B D C E F 由 ，可得 即 因此点E是AB的黄金分割点. 是黄金比， （即 ） 也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. 典例精析 例2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ， 解得x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美. 巴黎圣母院 联合国总部大厦 古希腊巴台农神庙 黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在古典及现代建筑中都有广泛的应用． 黄金分割的魅力 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 课堂总结 黄金分割 定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段：原线段 = $$