4.4.3 探索三角形相似的条件（第3课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第4节 探索三角形相似的条件（3） 学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点） 复习回顾 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？ A B C D E 3.类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？ 我们接着来考虑增加的条件是“另两边成比例”的问题. 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 1— ①任意画△ABC； ②再画△A′B′C′，使 ； ③量出∠A及∠A′的度数，∠A＝∠A′吗？ ④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？说说你的理由. ⑤改变k值的大小，再试一试. A B C A′ B′ C′ △ABC∽△A′B′C′ （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′∽△ABC. B C A D E 又 , AD=A′B′， ∴ ，. 1. 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式如图， 在△ABC和△DEF中， ∵= = ， ∴△ABC∽△DEF. 注意： 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可. 典例精析 例1.如图，在△ABC和△ADE中， ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A D C E B ∴△ABC∽△ADE （三边成比例的两个三角形相似） 解：∵ ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC. 即∠BAD＝∠CAE. ∵∠BAD＝20°， ∴∠CAE＝20°. 议一议 如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？ A B C A′ B′ C′ 4 8 假设每一小格的边长为1， 典例精析 例2.如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴BC2 =AB2－AC2 =(2A′B′)2－(2 A′C′)2 =4A′B′2－4A′C′2=4( A′B′2－A′C′2 ) =4 B′C′2=( 2 B′C′)2. ∴ △A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) ∴ BC=2B′C′， 随堂即练 1.一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，l0 cm，l2 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 2.如图，在4× 4 的正方形网格中，△ ABC和 △ DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 . 填空：∠ABC=______°，AC=________ ； 3.如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD． 课堂总结 A B C A′ B′ C′ 相似三角形的判定定理： 三边成比例的两个三角形相似. 几何语言： ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵ $$