4.4.2 探索三角形相似的条件（第2课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第4节 探索三角形相似的条件（2） 学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点） 复习回顾 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？ 1.5cm 3cm 1cm 2cm 不一定 1.5cm 3cm 1cm 2cm 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 其中一边的对角或两边的夹角 相似三角形 1— ①任意画△ABC； ②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，且 ； ③量出∠B及∠B′的度数，∠B＝∠B′吗？由此可以推出∠C=∠C′吗？为什么？ ④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？与你周围的同学交流. ⑤改变k值的大小，再试一试. A B C A′ B′ C′ 我发现这两个三角形是相似的 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在 △A′B′C′的边 A′B′上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作DE∥B′C′， 交 A′C′于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 验证猜想： ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∵ A′D=AB， ∴ 1.相似三角形的判定定理  两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 2. 数学表达式  如图，在△ ABC 和△ DEF 中， ∵ = ，且∠ B= ∠ E， ∴△ ABC ∽△ DEF. B A C B' A' C' 易错警示： 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角 . 类似于判定三角形全等的SAS 方法. 典例精析 例1.如图，在正方形 ABCD 中， P 是 BC 上的一点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点 . 求证：△ ADQ ∽△ QCP. 证明： 设正方形 ABCD 的边长为 4a，则 AD=CD=BC=4a. ∵ Q 是 CD 的中点， BP=3PC， ∴ DQ=CQ=2a， PC=a. ∴ = =2. 又∵∠ D= ∠ C=90°，∴△ ADQ ∽△ QCP. 例2.如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且 ，求DE的长 . A B C D E 解：∵AE=1.5，AC=2， 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC 典例精析 ∵BC =3， 想一想 如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？ 50° 4 A B C 3.2 2 50° E D F 1.6 两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。 结论：判定两个三角形相似角必须两边的夹角. 典例精析 例3.如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 随堂即练 1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2 =CD·BC D. AB2 =BD·BC A B C D 2.如图，在△ ABC中，D，E分别在AB与AC上，且 AD=5， DB=7，AE=6， EC=4. 求证：△ ADE ∽△ ACB. 3.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长． A B C D 课堂总结 A B C A′ B′ C′ 相似三角形的判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何语言： ∵ ∴△ABC∽△A′B′C′ $$