第1章特殊平行四边形——存在性问题 同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 第1章特殊平行四边形——存在性问题 1．在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点D的坐标为，点M为线段OB上一动点（不包括点O、B），为等腰直角三角形，，DN与边BC交于点E，连接ME．    (1) °； (2)求证：MN平分∠EMB； (3)设点M的坐标为，在边OD上是否存在点P，使得四边形MNCP为平行四边形？若存在，请用含m的代数式表示点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．    (1)求C点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长； (3)在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．    (1)求证：； (2)延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系． 4．如图，点为坐标原点，四边形为矩形，边、分别在轴、轴上，，，，，且、满足． (1)求，两点的坐标； (2)把沿翻折，点落在处，线段与轴交于点，求的长； (3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图1所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴正半轴上，直线交轴于点M，连接，边交轴于点．    (1)求的长； (2)如图2所示，动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的情况下，当点在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出的值；如不存在，说明理由． 6．如图，在矩形中，，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．    (1)直接写出的长； (2)求当为何值时，和全等？ (3)是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 7．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．    (1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为； (2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由． 8．如图，在四边形中，，，点P从点A出发以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为.    (1)边的长度为 ，t的取值范围为 ； (2)从运动开始，当t取何值时， (3)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由 9．在正方形中． (1)【发现】 如图1，为对角线上一点，连接，．则与相等吗？说明理由． (2)【应用】 如图2，点在上，连接，，延长交于点，交的延长线于点，若，且，求正方形的边长． (3)【迁移】 若正方形的边长为，点在射线上，连接，，射线交直线于点，请问：是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出该三角形的腰长；若不存在，试说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．    (1)求菱形的周长； (2)动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E．    (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，矩形的顶点、分别位于轴和轴的正半轴上，线段、的长度满足：，点在上，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，且．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)坐标平面内是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请说明理由并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线： 与轴交于点，与轴交于点，以边向上作正方形，交于点．      (1)求点的坐标； (2)若是直线上的一动点，则在轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若