专题08 一元二次方程的根与系数的关系-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题08 一元二次方程的根与系数的关系 【知识梳理】 知识点01一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点02推导过程 在中，当时，由求根公式可得，， 所以， ． 知识点03一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【点石成金】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【题型探究】 题型一、求两根积与和 1．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设方程的另一个根为x1， 根据题意得：1×x1=2， 则x1=2． 故选：B． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于是解题的关键． 2．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 【答案】B 【分析】 根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项． 【详解】 解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6， 故选：B． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 3．方程的两根之和为（ ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 一元二次方程的两根之和为：， 故选B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4．已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ） A．16 B．32 C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，进而即可求解． 【详解】 解：设一元二次方程的两个实数根分别是：， ∴， ∵Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根， ∴的面积=32÷2=16． 故选A． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两个实数根，满足，是解题的关键． 5．若方程的两个实数根分别为、，则等于 A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】 直接由根与系数的关系公式求解即可． 【详解】 ∵一元二次方程有解时，两根之和， ∴对于原方程，， 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本结论并灵活运用是解题关键． 6．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系计算． 【详解】 解：由题意可得：， ∴=， 故答案为：． 【点睛】 此题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 7．已知，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】1 【分析】 直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两 8.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值． 【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不