专题07 用因式分解法求解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题07用因式分解法求解一元二次方程 【知识梳理】 知识点01因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点02常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【点石成金】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【题型探究】 题型一、利用因式分解法解一元二次方程 1．下列解方程的过程，正确的是（ ） A．．两边同除以，得 B．．直接开平方法，得 C．．∵，， ∴， D．，整理得， ∴， 【答案】D 【分析】分别利用因式分解法以及直接开平方和公式法解方程进而得出正确答案． 【详解】解：A、x=x，移项得：x-x=0，解得：x=0，x=1，故此选项错误； B、x+4=0，则x=-4，此方程无解，故此选项错误； C、（x-2）（x+1）=3×2，应先去括号整理得出：x-x-8=0，解得：x=，x= x=，故此选项错误； D、（2-3x）+（3x-2）=0．整理得3（3x-2）（x-1）=0，∴x= ，x=1，此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解法以及直接开平方和公式法解方程，熟练记忆求根公式是解题关键． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：移项得：， 提公因式x-1得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】 本题考查解一元二次方程．掌握利用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 3.解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 （1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】 解：（1）， ∴， ； （2）， ∴， ∴， ，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 4.解方程： 【答案】x1=，x2=1； 【分析】 直接用十字相乘法分解求值即可； 【详解】 解：（2x-1）（x-1）=0， ∴2x-1=0或x-1=0， 解得x1=，x2=1； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的因式分解法等知识点，掌握因式分解的十字相乘法解决本题的关键． 5．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：． （1）分解因式： （2）请用上述方法解方程： 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2）， 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1） 故答案为：2，4（或4，2）； （2）∵， 或， 解得：，． 【点评】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 题型二、利用换元法求方程中代数式的值 6．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是____________． 【答案】y2﹣2y+1＝0 【分析】利用换元法，再化成整式方程即可． 【详解】解：设，则原方程可变为：y+＝2， 化为整式方程为y2﹣2y+1＝0， 故答案为：y2﹣2y+1＝0． 【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 7．已知实数满足，那么的值为______． 【答案】1 【分析】 设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】 设， ∴原式可转化为：， 整理得，， 解得，或， ∵， ∴将(舍去) ∴的值为1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍． 8．若x，y都是负数，且，则的值是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值． 【详解】解：， ∴， 即， 可得或． ∵x，y都是负数， ∴x+y＜0， ∴， 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法． 题型三、新定义