专题05 用配方法求解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题05用配方法求解一元二次方程 【知识梳理】 知识点01一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【点石成金】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点02配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【点石成金】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【题型探究】 题型一、配方法解方程 1.解方程：x2+4x﹣2＝0． 【答案】， 【分析】 利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：x2+4x﹣2＝0 移项，得x2+4x＝2， 两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22， 即（x+2）2＝6， 利用开平方法，得或， ∴原方程的根是，． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 2.解方程：． 【答案】， 【分析】 利用配方法解一元二次方程． 【详解】 解： 移项，得， 配方得 ， 直接开平方，得， 解得， 【点睛】 本题考查解一元一次方程，掌握配方法解方程的步骤正确计算是解题关键． 题型二、配方法比较大小 3．已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较即可． 【详解】根据题意，得 ＝， ∵ ∴ ∴， 故选B． 【点评】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键． 4．若代数式，，则的值（　　） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 【答案】B； 【解析】（作差法） ．故选Ｂ． 【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 题型三、最值问题 5．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（ ） A．5和3 B．5和 C．﹣和 D．和 【答案】D 【分析】利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，利用偶数次幂的非负性作答． 【详解】解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+， ∴当x＝时，q有最小值， ∴m和q的值分别是和， 故选：D． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，偶数次幂的非负性．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． 题型四、用配方法证明 6.用配方法证明的值小于0． 【点拨】 本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【解析】 ． ∵ ，∴ ， 即．故的值恒小于0． 【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明． 7.试用配方法证明：代数式的值不小于． 【答案】 ． ∵ ，∴ ． 即代数式的值不小于． 8.用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 【解析】 解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5 =﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2 =﹣8（x﹣）2﹣， ∵（x﹣）2≥0， ∴﹣8（x﹣）2≤0， ∴﹣8（x﹣）2﹣＜0， 即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0． 【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值． 9．阅读思考：已知m2-6m+11，只要在前两项的基础