专题06 用公式法求解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题06用公式法求解一元二次方程 【知识梳理】 知识点01公式法解一元二次方程 当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 知识点02一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． （1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． （2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即． （3）当<0时，方程没有实数根． 知识点03用公式法解一元二次方程的步骤 公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式； （2）确定、、的值； （3）计算的值； （4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 【点石成金】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点04一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【点石成金】 （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【题型探究】 题型一、判别式 1.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况： （1）； （2）． 【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根 【分析】 （1）根据根的判别式即可判断； （2）根据根的判别式即可判断； 【详解】 解：（1）由题得： ∴原方程没有实数根； （2）由题得： ∴原方程有两个不相等的实数根． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点． 2．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）；（2）当时， 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围； （2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可． 【详解】 （1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ （2）答案不唯一 当时， ∴或 解得： 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了直接开平方法解一元二次方程． 3．已知方程． （1）当时，求该方程的解； （2）若方程有实数解，求的取值范围． 【答案】(1) ，．(2) ． 【分析】 （1）将k＝1代入方程，求出方程的解； （2）若方程有实数解需分类讨论，该方程为一元一次方程，该方程为一元二次方程，为一元二次方程时要注意 . 【详解】 解：（1）把代入原方程得，解得，． （2）当时，方程有解； 当时，，解得． 综上可得． 【点睛】 本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ；当 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解法以及分类讨论思想的运用． 4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1）n＞0；（2）x1＝0，x2＝﹣2． 【分析】 （1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可； （2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】 解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0， 解得n＞0； （2）因为n为取值范围内的最小整数， 所以n＝1， 方程化为x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣2． 【点睛】 此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用与方程的求解方法． 题型二、公式法解方程 5．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程． 由于，方程变形为 ．……………………第一步 ．第二步 ．…………第三步 ．……………第四步 ．……………第五步 （1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式． （2）用配方法解方程． 【答案】（1）四，；（2），，见解析． 【分析】 （1）第四步开方时出错； （2）