专题11 用公式法求解一元二次方程（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题11 用公式法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【题型1 求一元二次方程中判别式的值】 例题：（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期末）方程的根的判别式的值为 ． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一元二次方程，则其判别式的值 ． 3．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 【题型2 利用用公式法还原一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 2.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 3.（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【题型3 用公式法求解一元二次方程】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解方程：． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）解一元二次方程：． 【题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例题：（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：……① ，，，…………………② …………③ 方程无实数根．……………④ (1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 3．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2025·河南焦作·模拟预测）一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式训练】 1．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【题型6 根据一元二方程根的情况求参数】 例题：（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【变式训练】 1．（2025·北京西城·二模）关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 一、单选题 1．（2025·北京大兴·二模）方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 2．（2025·河南驻马店·三模）下列关于的方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京丰台·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．36 B．9或 C． D．9 5．（2025·河南周口·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程，则的值 ． 7．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 8．（2025·广东河源·模拟预测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 9．（2025·河南南阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 12．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）(1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 15．（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：移项，得，……第一步； 配方，得，……第二步； ，……第三步； 由此可得，……第四步； ，．……第五步； 习题2：用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，……第一步； ，，，……第二步； ，……第三步； ，……第四步； 即，．……第五步． (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的，并指出错误原因； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 16．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 18．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，四边形中，，，是和边长，易知，我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”； ①______（填“是”或“不是”）； ②______（填“是”或“不是”）； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是18，求面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 用公式法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【题型1 求一元二次方程中判别式的值】 例题：（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．根据根的判别式等于，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期末）方程的根的判别式的值为 ． 【答案】37 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：37． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一元二次方程，则其判别式的值 ． 【答案】8 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，直接根据求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程判别式的值为， 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，牢记一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键． 根据题意建立关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 整理，得：， 解得：， 故答案为：． 【题型2 利用用公式法还原一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】略 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 2.（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 3.（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 【题型3 用公式法求解一元二次方程】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）用公式法解方程． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）解一元二次方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特别是使用公式法求解．熟记求根公式是解题的关键．先确定的值，计算，以确定方程的根的性质．如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程无实数根．依据这个过程求解即可． 【详解】解：． ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 【题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】 例题：（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：……① ，，，…………………② …………③ 方程无实数根．……………④ (1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，②； (2)见详解 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：依题意，嘉嘉解方程的方法是公式法， 则求解过程中，，，他的表示系数时错误， ∴从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：依题意，， ，，， ， ， ，． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 3．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【答案】（1），；（2）没有考虑的情况；当时， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 【详解】解：（1）这里， ， ，； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 【题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2025·河南焦作·模拟预测）一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键，先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：在中， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意； B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根据判别式判断方程的根的情况，将方程转化为一般形式，利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：，整理，得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 3．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟悉根的判别式． 先求出判别式，再利用三角形三边关系说明它的符号，然后得出根的情况． 【详解】解：由题意，得， 关于x的方程， 则． ∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴， ∴原方程没有实数根． 故选A． 【题型6 根据一元二方程根的情况求参数】 例题：（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【答案】(1) (2)或5 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； ∴实数的取值范围是； （2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数， ∴是平方数 ∴是平方数 ∴或5 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 综上所述，或5． 【变式训练】 1．（2025·北京西城·二模）关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围． （2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是． （2）解：解方程，得． ∵， ∴正整数的值为1，2，3． 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，得到方程的根为，，都是整数． ∴正整数的值是3． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，利用根的情况求参数范围等． （1）计算，即可证明出本题答案； （2）利用求根公式得出，再由根的关系可得，计算出结果即为本题答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程有一根不小于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2)， (3)1，2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用、求解方程的根以及根据方程根的情况求参数取值，解题关键是熟练运用方程根的性质代入计算、选择合适方法解方程以及利用判别式建立不等式求解参数 ． （1）把代入方程求出a即可． （2）将代入方程，解一元二次方程即可； （3）由题意可得，根据不等式，求出的取值范围，再结合是正整数求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）代入方程得 ， 解得， ． （3）解：∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ． ∵又因为是正整数且， ∴所以满足条件的正整数的值为，． 一、单选题 1．（2025·北京大兴·二模）方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（2025·河南驻马店·三模）下列关于的方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、因为，没有实数根，故本选项符合题意； C、因为，有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D、因为，有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； 故选：B 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·北京丰台·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．36 B．9或 C． D．9 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 5．（2025·河南周口·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据关于x的一元二次方程有实数根，建立不等式，且求解，即可解题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 即，解得， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程，则的值 ． 【答案】5 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】∵一元二次方程， ∴，， ∴． 故答案为：5． 7．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．（2025·广东河源·模拟预测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程，即没有实数根， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（2025·河南南阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 10．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 12．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）(1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先把原方程移项得到，等号左边的式子直接利用完全平方公式配方即可解答； （2）利用公式法求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 15．（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：移项，得，……第一步； 配方，得，……第二步； ，……第三步； 由此可得，……第四步； ，．……第五步； 习题2：用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，……第一步； ，，，……第二步； ，……第三步； ，……第四步； 即，．……第五步． (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的，并指出错误原因； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1和习题2都是从第一步开始出现错误，原因是移项时，没有变号； (2)解答过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确掌握解答过程是解题的关键． （１）习题1和习题2都是从第一步开始出现了错误，不符合等式的性质； （２）根据解方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：习题1和习题2都是从第一步开始出现错误，原因是移项时，没有变号； （2）习题1：解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， ，. 习题2：解：将原方程化为一般形式，得； ，，， ， ， 即，. 16．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值． 【详解】（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ∴，， 方程有两个不相等的正整数解， ∴， ∴ 整数的值为2． 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 18．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，四边形中，，，是和边长，易知，我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”； ①______（填“是”或“不是”）； ②______（填“是”或“不是”）； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是18，求面积． 【答案】(1)①是；②不是 (2)见解析 (3)的面积为． 【知识点】由一元二次方程的解求参数、用勾股定理解三角形、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解； （2）由是“勾系一元二次方程”得，计算，可得关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）由是“勾系一元二次方程”的一个根得，，由四边形ACDE的周长是18，得出，即可求出ab的值及的值，得到面积． 【详解】（1）解：①不是“勾系一元二次方程”， ∵， 解得， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴是“勾系一元二次方程”， 故答案为：是； ②是“勾系一元二次方程”， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形不是直角三角形， ∴不是“勾系一元二次方程”， 故答案为：不是； （2）证明：∵是“勾系一元二次方程”， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴， ∵ ； ∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， 即， ∵四边形的周长是18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，勾股定理，新定义，完全平方公式的变形求值，掌握“勾系一元二次方程”的内涵并运用到解题过程之中是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$