专题02 矩形的性质与判定-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题02矩形的性质与判定 【知识梳理】 知识点01矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【点石成金】 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【点石成金】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【点石成金】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点04直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【点石成金】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【题型探究】 题型一、矩形的基本性质及判定 1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】 解：直角三角形的斜边长为10， 斜边上的中线长为， 故选：D． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．中心对称图形 B．对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】 根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案． 【详解】 解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】 根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】 解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意； D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点． （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 【点拨】 （1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC； （2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定． 【解析】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE（1分） ∵E是AD的中点， ∴AE=DE．（2分） ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AEF≌△DEC．（3分） ∴AF=DC， ∵AF=BD ∴BD=CD， ∴D是BC的中点；（4分） （2）四边形AFBD是矩形，（5分） 证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，（6分） ∵AF=BD，AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形，（7分） ∴四边形AFBD是矩形． 【总结】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到