专题01 菱形的性质与判定-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题01菱形的性质与判定 【知识梳理】 知识点01菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【点石成金】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【点石成金】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【点石成金】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【题型探究】 题型一、菱形的基本性质 1．下列说法中正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．五边形的内角和为720° C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．三角形的外角和为360° 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法，五边形的内角和及三角形外角和的求法分析判断即可． 【详解】 A、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故本选项说法错误； B、五边形的内角和为，故本选项说法错误； C、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故本选项说法错误； D、三角形的外角和为360°，故本选项说法正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查菱形的判定方法、五边形的内角和及三角形外角和的求法，解题的关键是熟练掌握上述所学知识点． 2．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）． A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形 【答案】B 【分析】 由菱形的判定性质，即可得到答案． 【详解】 选项A、C、D均为菱形的判定定理，故正确； 选项B，一条对角线平分一组对角，和菱形每一条对角线平分一组对角的性质相悖 ∴选项B错误 故选：B． 【点睛】 本题考察了菱形判定定理的知识；求解的关键是熟练并准确掌握菱形判定定理，即可完成求解． 3．下列说法中不正确的是（　　　） A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且相等 【答案】D 【分析】 根据平行四边形与菱形的性质分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、平行四边形的对角相等，此说法正确，故此选项不符合题意； B、菱形的四条边都相等，故此选项说法正确，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，此说法正确，故此选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直平分，故此选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】 此题考查了平行四边形与菱形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键． 4.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 【点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 【解析】 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 题型二、菱形的判定 5.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形． 【点拨】（1）由题意得到AD=CD