专题03 正方形的性质与判定-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题03正方形的性质与判定 【知识梳理】 知识点01正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【点石成金】 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【点石成金】 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点04顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【点石成金】 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【题型探究】 题型一、正方形的判定及性质 1．下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（　　） A．对边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 A.对边相等，是平行四边形的性质，矩形和正方形都具有；B.对角线相等，是矩形的性质，正方形也有；C.四个角都是直角，是矩形的性质，正方形也有；D.对角线互相垂直，是菱形的性质，正方形具有，而矩形没有，故选D. 2．下列说法正确的是（ ） A．矩形的对角线互相垂直平分 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定分别判别即可． 【详解】 解：．矩形的对角线相等，不一定互相垂直平分，故说法错误； ．对角线相等的菱形是正方形，正确； ．两邻边相等的四边形不一定是菱形，故说法错误； ．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故说法错误； 故选：． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定，熟悉相关性质是解题的关键． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形． 【点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF． （2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形． 【解析】 证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点， ∴DE⊥AC． 即得DE是线段AC的垂直平分线． ∴AF=CF． ∴∠FAC=∠ACB． 在Rt△ABC中，由∠BAC=90°， 得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°． ∴∠B=∠BAF． ∴AF=BF． （2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE． 又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE． 在△AEG和△CEF中， ， ∴△AEG≌△CEF（AAS）． ∴AG=CF． 又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形． ∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形． 在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF． 即得点F是边BC的中点． 又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°． ∴四边形AFCG是正方形． 【总结】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质． 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由． 【解析】