13.1.2垂直平分线学案 2023—2024学年人教版数学 八年级上册

第十三章 轴对称 13.1.2垂直平分线学案解析 典型例题 例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°在CB上找一点E，使EB＝EA，（利用尺规作图，保留作图痕迹）， 【分析】作AB的垂直平分线交BC于E，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB， 【解答】解：如图，点E为所作； 例2.已知：如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，根据三角形周长求出AB+AC＝12cm，根据已知得出AC＝AB﹣2cm，即可求出答案． 【解答】解： ∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长是14cm， ∴AD+DC+AC＝14cm， ∴AD+BD+AC＝AB+AC＝14cm， ∵AB比AC长2cm， ∴AC＝AB﹣2cm， ∴AC＝6cm，AB＝8cm． 例3. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED＝90°＝∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE＝∠DAC，又因为AD＝AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE＝AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【解答】证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴DE=DC ∴点D在CE的垂直平分线上 ， ∴AE＝AC， ∴点A在CE的垂直平分线上 ∵两点确定一条直线 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 例4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论． 【分析】根据角平分线的性质，得DE＝DF，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点D在EF的垂直平分线上；根据等角对等边，AE＝AF，则点A在EF的垂直平分线上，从而证明结论． 【解答】解：AD垂直平分EF．理由如下： ∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF． ∴点D在EF的垂直平分线上，∠DEF＝∠DFE， ∵∠DEA＝∠DFA＝90°， ∴∠FEA＝∠EFA， ∴AE＝AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 随堂练习 1．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝　 4cm 　． 2．如图，△ABC中，AB+AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为　 6 　． 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出BD＝CD，求出△ACD的周长＝AC+AB，代入求出即可． 【解答】解：∵BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E， ∴BD＝CD， ∵AB+AC＝6， ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝6， 3.如图，已知点A和点B关于某条直线成轴对称，请你用尺规作图的方法作出其对称轴．（保留作图痕迹，不写画法） 【分析】根据垂直平分线的性质，找到中垂线上的两点连接即可． 【解答】解：如图所示， ∴线段EF即为所求 4． 如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 【分析】 （1）因为AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE； （2）AB+BD＝DE，由（1）的结论得AB＝AC＝CE，因为AC+CD＝AB+BD，所以DE＝EC+CD＝AB+BD，即AB+BD＝DE． 【解答】解：（1）AB＝AC＝CE， ∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴AB＝AC； 又∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC＝EC， ∴AB＝AC＝CE； （2）AB+BD＝DE， 理由是：∵AB＝AC＝CE， ∵AC+CD＝AB+BD， ∴DE＝EC+CD＝AB+BD， 即AB+BD＝EC+CD＝DE． 5.如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC点D，求∠DBC的度数． 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°， ∵MN的垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 6．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE． （1）求证：DF是线段AB的垂直平分线； （2）当