精品解析：江西省吉安市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题

吉安一中2023—2024学年度上学期开学考试 高三数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则有（ ）个真子集. A. 3 B. 16 C. 15 D. 4 2. 若复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量、满足，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ） A B. C. D. 6. 设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 8. 已知，且，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分） 9. 某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为0.3℃ B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为36.6℃ 10. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ） A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过往复运动一次 C. 时小球是自下往上运动 D. 当时，小球到达最低点 11. 已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（ ） A. 面积的最大值为2 B. 的最小值为4 C. D. 若，则 12. 定义在上函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ） A B. C. 不存在，使得 D. 存在，使得 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________． 14. 设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________ 15. 点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为________． 16. 已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求及线段的长； （2）求面积． 18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，． （1）证明平面； （2）设二面角为，求与平面所成角大小 19. 设l为曲线C：在点(1，0)处的切线. (I)求l的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方 20. 已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求. 21. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 22.