2.1.1等式的性质与方程的解集-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.1.1等式的性质与方程的解集 题型1等式性质 2 题型2恒等式 4 题型3因式分解 4 题型4完全平方式 6 题型5化简求值 7 题型6方程的解集 8 题型7含参取值范围问题 9 题型8新定义题型 10 知识点一：等式的基本性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 整理如下： 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二：恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 知识点三：.“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 特别提醒 （1） 运用x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. 知识点四：方程的解集 1. 方程的有关概念方程 方程：含有未知数的等式叫方程. 方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解. 方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 解方程：求方程的解的过程叫解方程. 2.一元一次方程 一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程. 满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1. 表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）. 题型1等式性质 【方法总结】 等式性质的延伸： ①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a； ②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（也叫等量代换）. 【例题1】（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-1】2. （2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】3. （2021秋·高一课时练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 【变式1-1】4. （多选）（2021秋·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知，，，则下列等式不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型2恒等式 【方法总结】恒等式是进行代数变形的依据之一. 平方差公式、两数和（差）的平方公式都是恒等式. 【例题2】（2023·高一课时练习）下列等式中，哪些是恒等式？ （1） （2） （3） （4） 【变式2-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2. （2021·高一单元测试）若对任意实数，等式恒成立，则 ， . 【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合. 【变式2-1】4. （多选）（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 题型3因式分解 【方法总结】 （1）运用x2＋（a＋b）x＋ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. （2）对于x2+Cx+D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. 【例题3】（2022秋·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因