第二十七章 相似 第71课时 相似三角形判定和性质的综合（内文）-【教与学·课时导学案】2023-2024学年九年级全一册数学同步课件PPT（人教版）

课时导学案 教与学·课时导学案·数学·九年级·全一册·配人教版（内文） 数 学 第一部分 新课内容 第二十七章 相似 第71课时 相似三角形判定和性质的综合 目录 01 典型例题 02 变式训练 03 分层训练 典型例题 【例1】如图1-27-71-1，点B，C，D在同一条直线上，且BC=CD，点A和点E在BD的同侧，且∠ACE=∠B=∠D. （1）求证：△ABC∽△CDE； （2）若BC=2，AB=3，求DE的长度. 知识点1：利用相似，计算长度 返回目录 （1）证明：∵∠ACE=∠B，∠ACD=∠B+∠A=∠ACE+∠DCE，∴∠A=∠DCE. 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△CDE. （2）解：∵△ABC∽△CDE， ∴=. ∵BC=CD，BC=2，∴CD=2， 又∵AB=3，∴=.解得DE=. 返回目录 1.如图1-27-71-2，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=6，AD=4，CE=10. （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）求AE的长. 变式训练 返回目录 （1）证明：∵∠C=∠ADE，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB. （2）解：∵△ADE∽△ACB，∴=. ∵AB=6，AD=4，CE=10， ∴=. 解得AE=2（负值已舍去）. ∴AE的长是2. 返回目录 典型例题 【例2】 （原创题）如图1-27-71-3①,射线PA，PC分别与⊙O交于点A，B和点C，D. （1）如图①，连接AC，BD，求证：PA·PB=PC·PD； （2）如图②，若PA与⊙O相切，A为切点，且射线PD经过圆心O，连接AC，AO，AD，求证：PA2=PC·PD. 知识点2：圆中利用相似，证明等积式 返回目录 证明：（1）∵∠B+∠ACD=180°，∠PCA+∠ACD=180°， ∴∠B=∠PCA. 又∵∠P=∠P，∴△PCA∽△PBD. ∴=.∴PA·PB=PC·PD. 返回目录 （2）∵PA是⊙O的切线，CD是直径， ∴∠PAO=∠CAD=90°. ∴∠PAC+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°. ∴∠PAC=∠OAD. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA. ∴∠PAC=∠ODA. 又∵∠P=∠P， ∴△PAC∽△PDA.∴=. ∴PA2=PC·PD. 返回目录 2.（创新题）如图1-27-71-4，AB是⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，=，BC交DE于点E，连接OD. （1）求证：BD2＝AB·BE； （2）求证：AD·DE=BD·CE. 变式训练 返回目录 证明：（1）∵DE与⊙O相切于点D，∴DE⊥OD. ∵=， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD. ∴∠CBD＝∠ODB. ∴OD∥BE.∴DE⊥BE，即∠E＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.则∠ADB＝∠E. ∴△ABD∽△DBE.∴=. ∴DB2＝AB·BE. 返回目录 （2）∵∠DCE+∠DCB=180°，∠DCB+∠A=180°， ∴∠DCE＝∠A. 又∵∠ADB＝∠E＝90°， ∴△ADB∽△CED.∴=. ∴AD·DE=BD·CE. 返回目录 分层训练 3.如图1-27-71-5，已知∠ACD=∠B，AC=6，AD=4，CD=2AD，求BD和BC的长. 基础巩固 解：∵AD=4，CD=2AD，∴CD=8. ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC. ∴==，即==. 解得AB=9，BC=12. ∴BD=AB-AD=5. 返回目录 4.如图1-27-71-6，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC.求证：BD2=AD·CD. 证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC. 又∵∠ABD=∠BCD=90°， ∴△ABD∽△BCD. ∴=. ∴BD2=AD·CD. 返回目录 5.如图1-27-71-7，延长弦DB和弦EC，交于圆外一点A，连接CD，BE. （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若AB=5，AC=6，AD=12， 求AE的长. 能力提升 返回目录 （1）证明：=， ∴∠D=∠E. 又∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABE. （2）解：∵△ACD∽△ABE，∴=. ∵AB=5，AC=6，AD=12， ∴=. 解得AE=10. 返回目录 6.（推理能力）如图1-27-71-8，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.求证：（1）△EDA∽△EBD；（2）ED·BC＝AO·BE. 核心素养 返回目录 证明：（1）如答图1-27-71-1，连接DO. ∵BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°. ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COB＝∠COD. 在△COB和△C