第一章特殊平行四边形微专题——动点问题综合训练1 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册 第一章特殊平行四边形微专题——动点问题综合训练1 1．如图，在正方形中，动点在上，过点作，过点作，点是的中点，连接交于点．    (1)求证：； (2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论； (3)设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为________（直接写出答案）． 2．四边形中，，，，，，动点从点开始，沿边，以1厘米/秒的速度向点运动；动点从点开始，沿边，以3厘米/秒的速度向点运动．已知、两点分别从、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为秒，问：    (1)为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ 3．如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、． (1)的最小值为______； (2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由； (3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由． 4．已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． (1)如图1，若，垂足为，求证：； (2)如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，已知四边形中，，，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．    (1)求的长； (2)若为直角三角形，求的值． 6．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接．则与的数量关系是　 　，与的位置关系是 　 　； (2)如图2，当点在菱形外部时，连接．那么（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 7．如图，在平面直角坐标系，四边形是正方形，，点是延长线上的一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点．    (1)直接写出点的坐标； (2)求证：； (3)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标． 8．已知：如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． (3)在（2）的条件下，若点F为边上的一个动点，点F到与的距离之和为a，则______．（直接写出答案） 9．已知，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F．垂足为O．    (1)如图1，连接，，求的长 (2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发．沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止，在运动过程中，已知点P的速度为，点Q的速度为，运动时间为．当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 10．在矩形中，，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，连接，作点A关于直线的对称点的；      (1)若点P是的中点，求的长度． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的长度； (3)直线交于点Q，连接，若是直角三角形，求的长度． 11．在正方形中，点E为射线上的一个动点，点F在射线上，且．    (1)如图1，当点E在边上时，求证：； (2)如图2，当点E在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点G在边上，且，点P为的中点，在点E从点B沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）． 12．在正方形中，P是边上一动点（不与点B、C重合）连接．    (1)如图①，过点B作垂足为点O，交于点Q，求证：； (2)如图②，E是上的一点，过点E作，分别交于点M，N．求证：． 13．如图1，已知正方形，E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接，． (1)求的度数． (2)如图2，连接，若点G为中点，，求的面积． (3)如图3，过点G作于点H，连接，请探究线段与的数量关系，并说明理由． 14．如图1，在平行四边形中，，，点E为对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证； (2)若所在的直线交于点M，求的长度； (3)如图2，当点F落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积． 15．如图，正方形的边长为1，是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形和拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段上两个动点（不与D、P、C重合），且，的延长线分别交于H、G．    (1)求证：①；②； (2)设，试问：是否存在这样的值，使得和互相垂直平分，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 16．已知：如图所示，在菱形中，，点为边上