精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题

2022-2023学年度上学期高二第一学段 齐齐哈尔市恒昌中学期中教学质量检测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 2. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3. 直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 4. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ） A. 2π B. 3π C. 2π D. 4π 8. 已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 点到直线的距离为1 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 12. 若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆，已知图（1）、图（2）、图（3）中椭圆的长轴长、短轴长的比值分别为、、，则对应的椭圆盘最圆的是图______（填序号） 14. 与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______． 15. 已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是___________. 16. 已知斜率为的直线经过双曲线的上焦点，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是______． 四、解答题（第17小题10分，第18-22小题，每小题12分，共6小题70分） 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求边上高所在直线的方程. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面的距离． 19. 已知圆 （1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 20. 已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点. （1）求的值； （2）求（为坐标原点）面积的最大值. 21. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证