1.2.2矩形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.2.2矩形的性质与判定 北师版九年级上册 教学目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 回顾旧知 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对称性： 既是中心对称图形也是轴对称图形 情景导入 思考：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 做一做 如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 【思考】∠α满足什么条件时，平行四边形会变成矩形？ 当∠α=90°时，平行四边形变成矩形. 归纳总结 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 A B C D 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 新知讲解 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形. 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 新知讲解 当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 新知讲解 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明： 在△ABC和△DCB中 AB = DC BC = CB AC = DB ∴ △ABC ≌ △DCB ∴∠ABC = ∠DCB ∵AB∥CD ∴∠ABC + ∠DCB = 180° ∴ ∠ABC =∠DCB= 90° ∴ □ ABCD是矩形 这一步的依据是？ 矩形的定义 归纳总结 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴□ ABCD是矩形 A B C D 条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等 想一想 矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ 猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。 请证明你的结论，并与同伴交流． 新知讲解 A B C D 已知：在四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形 证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°， ∴ ∠A + ∠B = 180°， ∠B + ∠C = 180°， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 归纳总结 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 A B C D 归纳总结 矩形的判定方法 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形. A B C D A B C D 典例精析 例、如图在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积. A B C D O 典例精析 A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC， OB=BD. ∵ △ABO是等边三角形， ∴ OA=OB=AB=4， ∴ AC=BD=8， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 S□ ABCD=BCAB= 课堂练习 2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(　　) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC B 1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ） A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm B 课堂练习 3.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，他去量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形