3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 观察下列各个函数的图象，你能发现随x的增大，y的值有什么变化吗？ 一、情境引入 WWW.33PPT.COM 阅读教材76-79页，思考并完成以下问题： 1.增函数、减函数的概念是什么？ 2.如何表示函数的单调区间？ 3.函数的单调性和单调区间有什么关系？ 4.用定义法如何证明函数的单调性？ 二、问题探究 WWW.33PPT.COM 总结：1．增函数、减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间D⊆I： 如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数. 如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数. WWW.33PPT.COM 2.单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 点拨：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”或“和”连接． 如函数y＝在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． WWW.33PPT.COM 例1.求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数: (1)y=3x-2; (2)y=-. 解：(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数. (2)函数y=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数. 三、典例分析 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 总结：确定函数的单调区间的方法 （1）函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法. （2）定义法,就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开. 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 例2.求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= =(x1-x2)+=(x1-x2)=. ∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数. 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 总结：利用定义证明函数单调性的四个步骤 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 例3.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f 的大小. 解：∵a2-a+1=, ∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, ∴f≥ f(a2-a+1). 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 总结：利用单调性解决抽象函数单调性问题 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. （2）利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错. 从题目的陈述看，这个函数的单调性时怎样的？-----在定义域（0，+∞）上是减函数 那就需要减函数的定义来证明，请回忆减函数的定义-----全班回答 1.已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 四、课堂练习 解：f(x)=x|x-2|= 图象如图所示. 由图象可知,函数的单调增区间为 (-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]