2.2 基本不等式第2课时课件 -2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 学习目标 进一步掌握并运用基本不等式求某些函数的最值； 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提 升数学建模素养； 熟练掌握基本不等式及变形的应用，增强逻辑推 理能力. 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值.（ ） (2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.（ ） (3)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.（ ） 2.已知a＞0，b＞0，ab=4，那么a+b的最小值是（ ） 　　 A. B.3 C.4 D.6 一、小题回扣 √ × × C 关于基本不等式，都涉及到哪些公式？ 二、知识梳理 1.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立. 2.基本不等式 如果a＞0，b＞0，则， 当且仅当a=b时，等号成立. 3.几个重要的不等式 （1）（a，b同号）； （2）ab≤（a，b∈R）； （3）（a，b∈R）. 例1.已知x>0，y>0，xy=10，求z=的最小值. 三、典例探究 解：由x>0，y>0，xy=10. 则=， 所以z的最小值是2. 当且仅当2y=5x，即x=2，y=5时等号成立. 总结：利用基本不等式求最值的常见方法 (1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值； (2)根据已知范围，确定两式的正负符号； (3)根据两式的符号求积或和的最值. 注意，基本不等式讲究“一正二定三等”. 变式1. 若a＞0，b＞0，a+2b=1，求的最小值. 解： .（当且仅当a=b时取“=”）. 即的最小值为7. 例2.已知a，b都是正数，且a+b=1，求证≥9. 证明：因为a>0，b>0，a+b=1， 所以 同理 故 ≥5++4=9. 所以. 总结：利用不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b≥2 (a＞0，b＞0)时，关键是对式子恰当地变形，合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用. 变式2.已知：a，b，c∈R＋，求证：≥a＋b＋c. 证明：由基本不等式：＝2c， 同理：2a，2b， 三式相加即得：≥a＋b＋c. (当且仅当a＝b＝c时取“＝”)． 例3.（1）用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆又是多少？ （2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形的菜园，长、宽各为多少的时候，菜园的面积最大，最大面积为多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m. (1)由已知得 由 ≥，可得 所以，当且仅当=10时，上式等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短 篱笆为40 m. (2)由已知得，矩形菜园的面积为 由 = = 9，可得81， 当且仅当9时，上式等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大， 最大面积为81 m2. 例4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元， 根据题意，得 l=240000+720(x+ =240000+720×2×40=297600， 当x=，即x=40时，l有最小值297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总 造价最低，最低总造价是297600元. 设出未知数x，y，根据已知条件，列出关系式， 然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题. （注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 总结：利用基本不等式解决实际问题的一般思路： 变式3.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积S的最大允许值是多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米， 则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200， 由基本不等式得3200≥2＋20xy ＝120＋20xy＝120＋20S. 所以S＋6－1