2.3 第2课时 等腰（边）三角形的判定（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（湘教版）

第2课时　等腰(边)三角形的判定 1．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；(重点) 2．进一步理解、体会推理论证的方法； 3．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用．(重点，难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．等腰三角形有哪些性质？ 2．等边三角形有哪些性质？ 3．我们知道，等腰三角形的两底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD. 解析：连接AC，把这个四边形分成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得∠CAD＝∠ACD，从而有AD＝CD. 证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA. 又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠BAC＝∠BCD－∠BCA. 即∠CAD＝∠ACD.∴AD＝CD(等角对等边)． 方法总结：要注意等腰三角形的判定定理与性质定理的区别．“等边对等角”是等腰三角形的性质定理，条件是已知一个三角形有两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等．“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，条件是已知一个三角形有两个角相等，结论是这个三角形是等腰三角形． 探究点二：等边三角形的判定 【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形． 解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解． 解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0， ∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC是等边三角形． 方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零．(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 【类型二】 三个角都是60°的三角形是等边三角形 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由． 解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形． 解：△ODE是等边三角形， 理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°. ∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°. ∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°. ∴△ODE是等边三角形． 方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而这个三角形是等边三角形． 【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又AB＝BC，从而△ABC是等边三角形． 解：△ABC是等边三角形． 理由：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D. ∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°. 又∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°.∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°.∴∠ECB＝60°. ∵AB＝BC.∴△ABC是等边三角形． 方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等． 探究点三：等腰三角形判定的实际应用 如图，上午8时，一艘轮船从A处向正北方向航行，每小时航行15海里，11时轮船到达B处，从A、B处望小岛P，测得∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求从B处到小岛P的距离． 解析：先根据三角形外角的性质及∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求出△ABP是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答． 解：∵∠PBC是△PAB的外角，∴∠PBC＝∠PAC＋∠APB， 又∵∠PAC＝15°，∠PBC＝