12.3 第1课时 角平分线的性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）
第十二章 全等三角形
12．3 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．
2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．
重点：能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．
难点：通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．
一、知识链接
1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？
2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ ．过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段 的长度表示点D到BC的距离．
二、新知预习
1．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．
| PD[来源:学科网] | PE |
第一次 |
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第二次 |
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第三次[来源:学，科，网Z，X，X，K] |
|
|
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 
．
2．下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则PD＝PE的是（ ）
A B C D
3．猜想：
角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等．
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三、我的疑惑
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一、要点探究
探究点1：尺规作角平分线
问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．
提示：
（1）已知什么？求作什么？
（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．
针对训练
已知：平角∠AOB．
求作：平角∠AOB的角平分线．
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结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法．
探究点2：角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．
1． 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD=PE．
方法归纳：
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
知识要点：
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
应用所具备的条件：
（1）点在该平分线上；（2）到角两边的距离(垂直).
定理的作用： 证明线段相等．
应用格式：
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE．
判一判：
（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），
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∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：EB=FC．
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm．
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14．
（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；
（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；
（3）求△PDB的周长．
二、课堂小结
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