12.3 第1课时 角平分线的性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

第十二章 全等三角形 12．3 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质 学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理． 2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题． 重点：能运用角的平分线性质解决简单的几何问题． 难点：通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理． 自主学习 一、知识链接 1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？ 2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ ．过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段 的长度表示点D到BC的距离． 二、新知预习 1．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点． PD[来源:学科网] PE 第一次 第二次 第三次[来源:学，科，网Z，X，X，K] 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 ． 2．下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则PD＝PE的是（ ） A B C D 3．猜想： 角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等． 三、我的疑惑 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 课堂探究 1、 要点探究 探究点1：尺规作角平分线 问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系． 提示： （1）已知什么？求作什么？ （2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? （3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ （4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握． 针对训练 已知：平角∠AOB． 求作：平角∠AOB的角平分线． 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法． 探究点2：角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点． 1． 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE． 方法归纳： 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 知识要点： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 应用所具备的条件： （1）点在该平分线上；（2）到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等． 应用格式： ∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE． 判一判： （1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） （2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）， ∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 典例精析 例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． 求证：EB=FC． 例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm． 变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14． （1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)； （2）求△APB的面积(用含m的式子表示)； （3）求△PDB的周长． 二、课堂小结