12.2.3 多项式与多项式相乘（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（华东师大版）

3.多项式与多项式相乘 1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点) 2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积． 学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现： 这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米． 另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米． 由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式． 二、合作探究 探究点一：多项式与多项式相乘 【类型一】 直接利用多项式乘多项式法则进行计算 计算： (1)(3x＋2)(x＋2)； (2)(x－3y)(x+5y)； (3)(2x－3)(3x2－2x+1). 解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果． 解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4. (2) 原式＝x2＋5xy－3xy－15y2＝x2＋2xy－15y2. (3) 原式＝6x3－4x2+2x－9x2+6x－3=6x3－13x2+8x－3. 方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【类型二】 多项式乘以多项式的混合运算 计算：(1)(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)； (2)5x(x2+2x+1)－(2x+3)(x－5)； (3)5y2－(y－2)(3y+1）－2(y+1)(y－5)． 解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可． 解：(1)原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23. (2)原式=5x3+10x2+5x-2x2+10x-3x+15=5x3+8x2+12x+15． (3)原式=5y2-3y2-y+6y+2-2y2+10y-2y+10=13y+12． 方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号． 探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用 【类型一】 多项式乘以多项式的化简求值 先化简，再求值： (1)(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1； (2)(x+1)2－(x+1)(2x－1)，其中x2-x+1=0. 解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．其中（2）中需整体代入求值. 解：(1)原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. (2) 原式＝x2+x+x+1-(2x2-x+2x-1)=x2+2x+1-2x2-x+1=-x2+x+2.因为x2-x+1=0，所以-x2+ x=1.所以原式=1+2=3. 方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算． 【类型二】 多项式乘以多项式与方程、不等式的综合 解下列方程或不等式： (1)(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4； (2)2x(3x－5)－(2x－3)(3x+4)≤3(x－4). 解析：方程或不等式的两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，即可求出解． 解：(1)去括号，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝－. (2)去括号，得6x2－10x－6x2－8x+9x+12≤3x－12,移项、合并同类项得－12x≤－24,解得x≥2. 方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程或不等式再解答． 【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用 千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案． 解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米． 方法总结：掌握长方形的面积公式和