2.7 第1课时 二次根式及其化简（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（北师大版）

2．7　二次根式 第1课时　二次根式及其化简 1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 上述结果有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)；(2)；(3)；(4)； (5)(x≥0，y≥0)；(6)； (7). 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题＝2，是二次根式，但2不是二次根式． 【类型二】 二次根式有意义的条件 当x________，＋在实数范围内有意义． 解析：要使＋在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． 探究点二：二次根式的性质及化简 化简下列二次根式． (1)；(2)(a≥0，b≥0)； (3). 解析：本题主要考查运用＝·(a≥0，b≥0)及＝a(a≥0)进行化简． 解：(1)＝＝×＝4； (2)＝＝·＝2a； (3)＝＝6×13×3＝234. 方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式，，，中，最简二次根式共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：中有因数4；中有分母9；中有因式a2.故最简二次根式只有.故选A. 方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式． 三、板书设计 二次根式 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等． $$ 2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 重点难点提示 　　本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。 　　1．二次根式的重要性质： 　　要注意以下问题： 　　（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定，要对其进行讨论。 　　（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。 　　2．的区别 　　（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。 　　中的a可以是任何实数。 　　（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。而表示对实数a先平方，再开方。 　　知识点精析 　　例1．判断下列各式是否正确 　　(1)　　(2) 　　(3) 　　　(4) 　　(5) 　　解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。 　　例2．化简 　　(1) 　　　　　　(2) (-1<x<8) 　　(3) (0<x<1)　　 (4) 　　解：(1) ∵ x2+1>0,　 ∴ 　　(2) ∵ -1<x<8,　 ∴ x+1>0, x-8<0. 　　∴ 　　=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7. 　　(3) ∵ 0<x<1,　 ∴ . 　　∴ . 　　(4) ==|x-4|+|x-3| 　　当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7. 　　当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1. 　　当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。 　　∴ 原式= 　　说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。而正确去掉绝对值符号是化简的关键。去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。此类问题，一般可分为两类。第一类是不需要讨论直接化简。属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。③给出明确的条件，如（2）小题。第二类，需讨论后再化简。当题目中给定的条件