专题04 相似三角形的应用（知识串讲+7大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题04 相似三角形的应用 考点类型 知识一遍过 （一）相似三角形的应用举例 （1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 （2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 考点一遍过 考点1：相似三角形应用——测树高 典例1：（2022秋·九年级课时练习）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？ 【变式1】（2020秋·河北保定·九年级校考期中）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米； 小丽：测量甲树的影长为4米（如图1）； 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． （1）请直接写出甲树的高度为　 　米； （2）求乙树的高度． 【变式2】（2022秋·九年级单元测试）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在点（如图所示），人在点正好在镜中看到树尖；第二次他把镜子放在处，人在处正好看到树尖．已知李师傅眼睛距地面的高度为，量得为，为，为，求树高． 【变式3】（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 考点2：相似三角形应用——影长问题 典例2：（2022秋·陕西·九年级西北大学附中校考期中）如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm) 【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度． 【变式2】（2017·陕西西安·统考模拟预测）小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度．如图，相邻的两盏路灯、高度相等，某天晚上，小颖站在点处，此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯的底部；小华站在点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部．这时，小林测得米，已知米，小颖身高米，小华身高米，、、、均与地面垂直．请你根据以上数据计算路灯的高度．（结果精确到米） 【变式3】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）某校园有旗杆AB在阳光下某一时刻的影子长为AG．高1.6米的标杆EF在同一时刻的影子为EM（其中AB，EF都与地面垂直）．通过测量获得数据AG=7.5，EM=1米． (1)在图中画出旗杆的影子； (2)求旗杆AB的高度． 考点3：相似三角形应用——测河宽 典例3：（2023春·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．