第十二章 全等三角形 微专题4　全等三角形的常见辅助线(内文)-【教与学·课时导学案】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（人教版）

数 学 教与学 课时导学案 教与学 课时导学案 数学 八年级 上册 配人教版（内文） 第一部分　新 课 内 容 第十二章　全等三角形 微专题4　全等三角形的常见辅助线 2 目录 01 专题解析 02 典例提升 专题解析 方法一：连接两点构造“公共边”证明全等. 方法二：作垂线段，利用角平分线的性质证明全等. 方法三：倍长中线法——在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长. 返回目录 方法四：截长补短法——截长，在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短，将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段. 返回目录 1. 如图W4－1，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC.求证：∠A＝∠C. 图W4－1 类型一：连接两点构造“公共边” 典例提升 返回目录 证明：如答图W4－1，连接OE. 在△AOE和△COE中， ∴△AOE≌△COE（SSS）. ∴∠A＝∠C. 答图W4－1 返回目录 2. 如图W4－2，AB＝CD，AD＝BC.求证：AD∥BC. 图W4－2 证明：如答图W4－2，连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB（SSS）. ∴∠ADB＝∠CBD. ∴AD∥BC. 答图W4－2 返回目录 类型二：作垂线段 3. 如图W4－3，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D. 图W4－3 返回目录 （1）PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由； （1）解：PC＝PD. 理由如下： 如答图W4－3，过点P分别作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F. ∴∠CFP＝∠DEP＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF. 答图W4－3 返回目录 ∵∠AOB＝90°，∴∠FPE＝90°. ∴∠2＋∠FPD＝90°. ∵∠1＋∠FPD＝90°，∴∠1＝∠2. 在△CFP和△DEP中， ∴△CFP≌△DEP（ASA）. ∴PC＝PD. 返回目录 （2）求证：∠OCP＋∠ODP＝180°. （2）证明：∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠OCP＋∠ODP＝360°－90°－90°＝180°. 返回目录 4. 如图W4－4，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CD＝CB.求证： 图W4－4 （1）AE＝（AB＋AD）； 证明：（1）如答图W4－4，作CF⊥AD的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E， ∴CF＝CE. 在Rt△ACF与Rt△ACE中， 返回目录 ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）. ∴AF＝AE. 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）. ∴FD＝BE. ∵AF＝AE， ∴AE＝（AB＋AD）. 答图W4－4 返回目录 （2）∠B＋∠D＝180°. 证明：（2）∵Rt△CDF≌Rt△CBE， ∴∠B＝∠FDC. ∵∠ADC＋∠FDC＝180°， ∴∠B＋∠ADC＝180°. 返回目录 类型三：倍长中线法 5. 如图W4－5，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E.求证：∠AFE＝∠CAF. 图W4－5 返回目录 证明：如答图W4－5，延长AD到点G，使DF＝DG，连接CG. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△BDF和△CDG中， ∴△BDF≌△CDG. ∴BF＝CG，∠BFD＝∠G. 答图W4－5 返回目录 ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AFE＝∠G. ∵BF＝CG，BF＝AC， ∴CG＝AC. ∴∠G＝∠CAF. ∴∠AFE＝∠CAF. 答图W4－5 返回目录 6. 如图W4－6，CE，CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE. 图W4－6 证明：如答图W4－6，过点B作BF∥AC交CE的延长线于点F. ∵CE是△ABC的中线，BF∥AC， ∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F. 在△ACE和△BFE中， 返回目录 ∴CE＝EF，AC＝BF.∴CF＝2CE. 又∵∠ACB＝∠ABC，CB是△ADC的中线， ∴AC＝AB＝BD＝BF. ∵∠DBC＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC， ∴∠DBC＝∠FBC. 在△DBC和△FBC中， ∴△DBC≌△FBC（SAS）.∴CD＝CF＝2CE. ∴△ACE≌△BFE（AAS）. 返回目录 类型四：截长补短法 7. 如图W4－7，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点F.BC，BE，CD有怎样的等量关系？并说明理由. 图W4－