5.3.2函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值 人教A版（2019） 选择性必修第二册 新知导入 问题： 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 新知讲解 函数的极值 观察图5.3-9， 当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？ 相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近， 当t<a时，函数 h(t)单调递增，； 当t>a时，函数 h(t)单调递减，. 在 t=a 附近，函数值先增后减. 这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 新知讲解 函数的极值 探究 如图5.3-11， 函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？ y=f(x) 在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？ 新知讲解 函数的极值 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，；而且在点 x=a 附近的左侧，右侧. 把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值； 新知讲解 函数的极值 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧. 把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 合作探究 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质 思考： 极大值一定大于极小值吗？ 合作探究 例5 求函数的极值. 解： 因为 所以 . 令，解得 x=-2，或 x=2. 当 x 变化时，， f(x)的变化情况如下表所示. x -2 (-2,2) 2 + 0 - 0 + f (x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此， 当 x=-2 时， f(x)有极大值，并且极大值为 当 x=2 时， f(x)有极小值，并且极小值为 合作探究 函数的图象如图5.3-12所示. 合作探究 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点 一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 合作探究 一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 1判断正误. 课堂练习 (1) 函数的极大值一定比极小值大．(　　) (2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(　) (3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (4) 单调函数不存在极值．( ) × × √ √ 课堂练习 2 已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则 f(x)的导函数的图象可能为（ ） 解： 对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号. 故A与C对应的函数 f(x)只有2个极值点； B对应的函数 f(x)有4个极值点； D对应的函数 f(x)有3个极值点. D 课堂练习 3 已知函数的图象如图所示，则有（ ） A．b>0, c>0 B. b<0, c>0 C. b>0, c<0 D. b<0, c<0 解： A 由函数 f(x)的图象知 f(x)先递减，再递增，再递减， f(0)=0，可知d=0， ∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负， ∵ ∴ a<0 ∵ 0在增区间内， ∴ ,即c>0, ,可知b>0 课堂练习 4 求函数的极值. 解： ∵ 令，即 解得 当 x 变化时， 的变化情况如下表 x -1 (-1,3) 3 + 0 - 0 + y 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴ 当 x=-1时，函数 y=f(x) 有极大值，且 f(-1)=10； 当 x=3 时，函数 y=f(x) 有极小值，且 f(3)=-22.